第五十八章 说服(1 / 2)

 “你说的是真的?”

庞绍安微微一愣,他是知道自己孙子的水平的,在同年龄段,庞学林称得上是佼佼者,就算拿到IMO的金牌,庞绍安都不会感觉多少意外。

可现在庞学林告诉自己,他不但已经将高中阶段的数学知识融会贯通,甚至连微积分、数学分析、抽象代数这类大学阶段的课程都自学了一部分,这就让他有些吃惊了。

平日里也没见他自学大学的内容啊,难道他私下里偷偷学的?

庞学林呵呵笑道:“爷爷,是真是假,你测试一下我不就知道了!”

“好,那我就和你打了这个赌,我们现在就去书房,我当场出题,你当场解答!”

庞学林自无不可,一旁的姚建中也饶有兴致地跟过来看起了热闹。

来到书房,庞绍安找来稿纸,很快在上面写下第一题:

设R是全体实数构成的集合,求所有的函数f:R→R,使得对任意实数x和y,都有

f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)。

这道题看似简略,而且也没超出高中数学的范畴,但题目本身对高中阶段的学生而言,却是非常有难度的,至少拿到IMO上当做考题,一点问题都没有。

庞学林接过考题,只是扫了一眼,然后想也没想,提笔就在稿纸下方空白部分刷刷刷地写起了答案。

解:将题中等式记为P(x,y),则由P(0,0)可知

f(f(0)^2)=0 (1)

对任意实数x≠1,存在实数y,满足x+y=xy,则y=x/x-1,由P(x,x/x-1)可知,

f(f(x)f(x/x-1))=0,x≠1 (2)

对f(0)可以分两种情况讨论。

……

庞绍安原以为,庞学林怎么也得思考个十几分钟,找到思路后,再花上十几分钟解题。

却没想到,对方只看了一眼题目,然后就直接解题了,前前后后都没用五分钟。

“爷爷,你看看,我这样解得对不对?”

庞学林自信满满地将答案递给了庞绍安。

菲奖大佬做IMO试题,甚至比大学生做小学试题都要来的轻松,看到题目的第一眼,庞学林就已经看透了出题者的意图。

如果真要说数学水平,他已经比庞绍安都要高出不止一筹。

庞绍安接过来看了一下,点头道:“不错,没想到你最近水平见涨啊,解题速度快多了。不过这只是高中竞赛的内容,你既然大学阶段的课程都已经自学过了,那我接下来的题目,就不限于高中知识了。”

庞学林笑嘻嘻道:“爷爷,你尽管出,答不上来算我输!”

“臭小子,什么时候这么狂了?!”

庞绍安嘴上虽然骂着,心里却高兴得很,如果庞学林真的有他自己说的这种水平,不就证明了自己教育的成功吗?

“你之前说自己学过线性代数,那第二题,就和矩阵相关。

很快,庞绍安又在稿纸上写下了第二题:

证明:任意n阶实方阵A可以分解为A=A0+A1+A2,其中A0=aIn,a是实数,A1、A2都是幂零方阵。

和第一题一样,庞学林同样没有思考多久,直接在稿纸上写下答案:

证明:我们先证明一个引理。

引理:设A是n阶实方阵且满足tr(A)=0,则存在可逆实方阵P,使得P^-1AP的对角元素都是0。

对n进行归纳,当n=1时,A=(0),结论显然成立,下面设n≥2,我们考虑两种情形。

情形一:Rn中的所有非零向量都是A的特征向量……

……